Este trabajo describe la formulación, implementación y aplicación de un modelo discreto de fisura cohesiva el cual permite simular el proceso de fractura en modo I de vigas de concreto simple cuya trayectoria de fisuración está definida.
En el proceso de fractura se establece una relación entre el esfuerzo normal de cohesión y la apertura de una fisura, donde el material ubicado fuera de la zona de fractura conserva un comportamiento elástico lineal en carga o descarga, mientras que el material en el interior de la zona de fractura tiene un comportamiento inelástico con ablandamiento por deformación.
En la malla se ubican parejas de nudos en la misma posición espacial sobre la trayectoria de la fisura, las cuales desligan a los elementos bidimensionales contiguos. Estos nudos duplicados están conectados entre sí por resortes elasto - plásticos que representan el proceso de fractura.
Se simulan numéricamente tres vigas de concreto de diferentes dimensiones que soportan una carga en el centro de la luz. Cada simulación es un análisis no lineal estático con elementos finitos en condición plana de esfuerzos, considerando deformaciones infinitesimales y aplicando un desplazamiento vertical incremental sobre la cara superior de la mitad de la luz de la viga.
Se obtuvieron resultados satisfactorios de la respuesta estructural de las vigas, en comparación con los ensayos experimentales y modelaciones numéricas desarrolladas por otros autores.
Introducción
En la simulación numérica del comportamiento mecánico del concreto existen dos metodologías clásicas que describen la zona del proceso de fractura.
La primera aproximación denominada metodología de fisura discreta considera que toda la zona de fractura se concentra en una línea de fisuración y se caracteriza por una ley esfuerzo - deformación que exhibe ablandamiento.
La segunda o metodología de fisura distribuida establece que la deformación inelástica localizada en la zona de fractura está distribuida en una banda de ancho definido, imaginada alrededor del frente de la fisura principal (Bazant y Planas, 1998).
Los modelos de fisura cohesiva están basados en la primera metodología. En los años sesentas Dugdale (1960) y Barenblatt (1962), introducen los primeros modelos de fisura cohesiva, los cuales buscaban representar el comportamiento no lineal ubicado en el frente de una fisura de trayectoria conocida en modo I, es decir, cuando las caras de la fisura se separan en dirección perpendicular al plano de la misma.
En estos modelos se reemplazan las fuerzas cohesivas transferidas de la zona de fractura al medio elástico circundante por fuerzas externas equivalentes, considerando la disipación de energía asociada al fenómeno de propagación de la fisura.
Años después, el denominado modelo de fisura ficticia propuesto por Hillerborg et al. (1976), extiende la definición de fisura cohesiva estableciendo que esta última puede ubicarse en cualquier lugar, sin conocerse su trayectoria previamente. Este trabajo vincula los conceptos de la mecánica de la fractura y del método de los elementos finitos (Hughes 2000, Oñate 2009).
Los dos elementos fundamentales para estudiar la fractura en el concreto con este modelo son: (1) la existencia de una zona de proceso de fractura en la vecindad de una fisura abierta debida a la localización de la deformación y (2) una ley constitutiva que represente la propagación de la fisura definida mediante la relación entre las fuerzas cohesivas y el desplazamiento normal entre las caras de la fisura en el interior de la zona de fractura (Shi, 2009).
Este artículo presenta la formulación, implementación y aplicación de un modelo discreto de fisura cohesiva en el marco del método de los elementos finitos, el cual permite simular el proceso de fractura en modo I de vigas de concreto simple cuya trayectoria de fisuración es conocida (Graffe 2010).
Como ejemplos de aplicación se simulan numéricamente tres vigas simplemente apoyas de diferentes dimensiones que soportan una carga puntual en el centro de la luz. Los resultados obtenidos se comparan con ensayos experimentales y modelaciones numéricas desarrolladas por otros autores como Lotfi y Shing (1995), Sancho et al. (2007) y Alfaiate et al. (2003). Dicho modelo establece el primer paso a la descripción general del proceso de fractura en el concreto simple.
La validación del modelo confirmará que su metodología puede aplicarse a nuevos modelos cohesivos del mismo tipo considerando trayectorias de fisuración desconocidas a priori.
Zona del Proceso de Fractura en Modelos de Fisura Cohesiva
En el modelo de fisura cohesiva del concreto se considera que el proceso de fractura en un punto material comienza cuando el esfuerzo principal mayor en dicho punto alcanza la resistencia a tracción del concreto σt, tal como lo establece el criterio de fallo de Rankine.
Así mismo, se supone que la normal a la superficie de la fisura coincide con la dirección del esfuerzo principal mayor. Por otro lado, se admite que el material fuera de la zona de fractura tiene un comportamiento isótropo, lineal y elástico caracterizado por su módulo de Young E y su relación de Poisson v.
Sean P-y P+ dos puntos sobre la misma coordenada material de un sólido, pero ubicados fuera y dentro de la zona de fractura respectivamente, cuyas relaciones esfuerzo - deformación están indicadas en la Figura 1(c) y en la Figura 1(d).
Durante el proceso de aplicación de la carga externa, el comportamiento en P-y P+ es el mismo hasta que el material alcanza la resistencia a la tracción, es decir, entre los puntos 0 y 1 de las curvas esfuerzo - deformación.
A partir de este momento y entre los puntos 1 y 3 de las curvas, el material de la zona de fractura presenta un ablandamiento, en el cual aumenta la deformación mientras se reduce el esfuerzo cohesivo, en cambio, el material fuera de la zona de fractura se descarga elásticamente.
Esta etapa demuestra que en la vecindad de un punto material se bifurca de la deformación, mientras se conserva la continuidad del esfuerzo normal a un plano ortogonal a la fisura. Después del punto 3, el esfuerzo cohesivo y la deformación fuera de la zona de fractura es nulo, mientras que la deformación en la zona de fisura sigue aumentando.
Esta relación entre el esfuerzo normal y la apertura de fisura describe el ablandamiento generado por la pérdida progresiva de la cohesión en la zona de fractura y se denomina curva de ablandamiento.
Para una apertura inicial igual a cero, el esfuerzo normal es igual a la resistencia a tracción del material, es decir w= 0 y σ=σt. En cambio, cuando el esfuerzo normal es nulo, es decir, cuando se pierde la transmisión de fuerzas de cohesión entre las caras, se declara la existencia de una discontinuidad notoria del material llamada fisura real, cuya apertura sigue creciendo a partir del valor crítico w=wc.
La energía por unidad de área en un punto material consumida desde la aparición de una fisura cohesiva, es decir para 0 Tal energía es igual a la integral expresada en la siguiente ecuación, la cual corresponde al área bajo la curva de ablandamiento, como se indica en la Figura 2(a). La energía de fractura y la curva de ablandamiento son parámetros particulares de cada material y su valor se puede determinar mediante ensayos de laboratorio. Algunos autores han obtenido valores de GF para el concreto entre 100 y 115 N/m (Lotfi & Shing 1995, Sancho et al., 2007, Alfaiate et al., 2003) y curvas de ablandamiento simplificadas mediante dos líneas rectas, como se muestra en Figura 2(b) (CEB 1991, Petersson 1981, Rokugo et al., 1989), siendo wch = GF/σt. El modelo numérico desarrollado en este trabajo ha sido implementado en el método de los elementos finitos bajo las siguientes suposiciones: Bajo las suposiciones anteriores se puede representar el proceso de fractura en vigas de sección transversal rectangular constante de concreto simple sometidas a cargas transversales estáticas en un solo plano, cuyo fallo material está determinado por flexión. En ensayos experimentales de este tipo, las componentes de esfuerzos no nulas están contenidas en el plano de la viga describiendo un estado plano de esfuerzos, el concreto presenta deformaciones pequeñas respondiendo a la teoría de las deformaciones infinitesimales y el estado de flexión genera la aparición de una sola fisura aproximadamente vertical. Así mismo, se ha observado que mientras las caras de la fisura tienden a separarse cada vez más la fuerza aplicada se reduce, lo cual significa que el material fuera de la zona de fractura presenta una descarga aproximadamente elástica. El dominio del sólido está dividido por elementos finitos definidos en un espacio bidimensional de coordenadas globales x y y. Estos elementos son estándar de continuidad C° en el campo del desplazamiento y en consecuencia cuentan con dos grados de libertad por nudo asociados a los desplazamientos longitudinales en las direcciones x y y (Hughes, 2000; Oñate 2009). La geometría de la estructura está conformada por elementos bidimensionales cuadrilaterales unidos mediante nudos. Además, se ubican parejas de nudos en la misma posición espacial sobre la trayectoria de la fisura, los cuales desligan a los elementos bidimensionales contiguos sobre la zona de fractura. Estos nudos duplicados en la misma coordenada están conectados entre sí por los resortes de dimensión nula, es decir e=0, que representan el proceso de fractura. Los elementos finitos bidimensionales como los cuadrilaterales isoparamétricos lineal y cuadra tico, tienen un comportamiento elástico lineal isótropo y representan el material ubicado fuera de la zona de fractura. Las propiedades mecánicas de estos elementos son el módulo de Young E y la relación de Poisson v del concreto. Los parámetros de la curva de ablandamiento del modelo numérico se calibran con los resultados experimentales de Petersson (1981), indicados como viga V1. Las simulaciones realizadas para las vigas de concreto V2 y V3 se realizan con el modelo previamente calibrado. Se espera que los parámetros de la curva de ablandamiento del modelo numérico se conserven constantes en la simulación de elementos estructurales con concretos similares. El comportamiento cohesivo en el interior de la zona de fractura se describe mediante resortes perpendiculares a la dirección de la fisura, en los cuales se activa una relación constitutiva de plasticidad con ablandamiento después de alcanzada la resistencia a tracción del concreto. El alargamiento y la fuerza en el resorte representan la apertura de la fisura w y la fuerza de cohesión F de la misma. En la superficie delimitada por el área aferente del resorte Af se distribuye un esfuerzo normal cohesivo constante equivalente a la acción de la fuerza interna F. Lo anterior establece una relación directa entre la curva de ablandamiento en la zona de fractura del concreto y la curva idealizada F(w) entre la fuerza y el alargamiento del resorte mostrada en la Figura 4(a). Con el fin de conservar la estabilidad de la solución numérica en el análisis no lineal con elementos finitos, se define la relación aproximada F(w) de la curva idealizada F(w) entre la fuerza y el alargamiento del resorte a tracción. Como lo muestra la Figura 4(b), el tramo 3 - 4 de la curva aproximada es elástico de rigidez k2 con tendencia a infinita, lo cual asegura la conexión total entre los elementos bidimensionales antes de alcanzar la resistencia a tracción del material. En cambio, en el tramo 6 - 7 se mantiene un valor constante muy pequeño de la fuerza cohesiva remanente γ Ft. Por lo tanto, cuando la rigidez de la etapa inicial tiende a infinito, es decir K2 >∞ , y la fuerza cohesiva remanente en la última etapa tiende a cero, es decir, γ> 0, el modelo numérico del resorte recupera las características del modelo de fisura cohesiva. Por otro lado, el acortamiento del resorte indicaría un comportamiento inconsistente donde se superponen dos regiones del sólido en la zona de fractura. Para evitarlo se considera que la rigidez a compresión k1, es decir la pendiente del tramo 2-3, tiende a infinito. TAG:
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Representación del Comportamiento Cohesivo en la Zona de Fractura
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